已知椭圆C的方程为x2a2+y22=1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(22，72)为椭圆上一点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0，y0）满足OP=OM+2ON，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与O-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的方程为x2a2+y22=1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(22..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

2

= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(

2

，

7

2

)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，求证：

x

20

+2

y

20

为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

试题来源：崇明县二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量基本定理及坐标表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为点Q(

2

，

7

2

)为椭圆上一点，
所以

1

2a2

+

7

8

=1，解得a²=4，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又kOM?kON=

y1

x1

?

y2

x2

=-

1

2

，化简得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是椭圆C上的点，所以

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，
由

OP

=

OM

+2

ON

，?

x0=x1+2x2

y0=y1+2y2

，
所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；
（3）由（2）知，动点P（x₀，y₀）满足x02+2y02=20，即

x02

20

+

y02

10

=1，
所以点P的轨迹是以(±

10

，0)为焦点的椭圆．
故存在点A（

10

，0）、B（-

10

，0），使得|PA|+|PB|=4

5

（定值）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的方程为x2a2+y22=1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(22..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量基本定理及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量基本定理及坐标表示”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：