在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|OP|：|PA|=1：2，|OQ|：|QB|=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若OA=a，OB=b．（Ⅰ）用a与b表示OR；（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若|a|=1，|b|-数学试题及答案

1、试题题目：在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|OP|：|PA|=1：2，|OQ|：|Q..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|

OP

|：|

PA

|=1：2，|

OQ

|：|

QB

|=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（Ⅰ）用

a

与

b

表示

OR

；
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若|

a

|=1，|

b

|=2，

a

与

b

的夹角θ∈[

π

3

，

2π

3

]，求

|

BH|

|

BA|

的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量基本定理及坐标表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由

OA

=

a

，点P在边OA上且|

OP

|：|

PA

|=1：2，
可得

OP

=

1

2

（

a

-

OP

），
∴

OP

=

1

3

a

．同理可得

OQ

=

3

5

b

．（2分）
设

AR

=λ

AQ

，

BR

=μ

BP

(λ，μ∈R)，
则

OR

=

OA

+

AR

=

OA

+λ

AQ

=

a

+λ(

3

5

b

-

a

）=（1-λ）

a

+

3

5

λ

b

，

OR

=

OB

+

BR

=

OB

+μ

BP

=

b

+μ(

1

3

a

-b）=

1

3

μ

a

+（1-μ）

b

．（4分）
∵向量

a

与

b

不共线，
∴

1-λ=

1

3

μ

3

5

λ=1-μ

解得λ=

5

6

，μ=

1

2

∴

OR

=

1

6

a

+

1

2

b

．（5分）
（II）设

|

BH|

|

BA

|

=γ，则

BH

=γ

BA

=γ（

a

-

b

），
∴

RH

=

BH

-

BR

=

BH

-(

OR

-

OB

)=γ（

a

-

b

）-（

1

6

a

+

1

2

b

）+

b

=(γ-

1

6

)

a

+（

1

2

-γ)

b

．（6分）
∵

RH

⊥

BA

，
∴

RH

?

BA

=0，
即[(γ-

1

6

)

a

+（

1

2

-γ)

b

]?（

a

-

b

）=0(γ-

1

6

)

a

²+（

1

2

-γ)

b

²+(

2

3

-2γ)

a

?

b

=0（8分）
又∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

?

b

=|

a

||

b

|cosθ=2cosθ，
∴(γ-

1

6

)+4(γ-

1

2

)+(

2

3

-2γ)(2cosθ)=0
∴γ=

1

6

×

13-8cosθ

5-4cosθ

=

1

6

(

3

5-4cosθ

+2)．（10分）
∵θ∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴cosθ∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴

1

6

(

3

7

+2)≤γ≤

1

6

(

3

+2)，即

17

42

≤γ≤

1

2

．
故

|

BH|

|

BA|

的取值范围是[

17

42

，

1

2

]．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|OP|：|PA|=1：2，|OQ|：|Q..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量基本定理及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量基本定理及坐标表示”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：