函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，（1）求f（0）的值．（2）对任意的x1∈(0，12)，x2∈(0，12)，都有f（x1）+2＜logax2成立时，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值．
（2）对任意的x1∈(0，

1

2

)，x2∈(0，

1

2

)，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立时，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知等式f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令x=1，y=0得f（1）-f（0）=2，
又∵f（1）=0，∴f（0）=-2．
（2）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令y=0得f（x）-f（0）=（x+1）x，
由（1）知f（0）=-2，∴f（x）+2=x²+x．
∵x1∈(0，

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)，
∴f(x1)+2=x12+x1=(x1+

1

2

)2-

1

4

在x1∈(0，

1

2

)上单调递增，
∴f(x1)+2∈(0，

3

4

)
要使任意x1∈(0，

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)，x2∈(0，

1

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)都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
当a＞1时，logax2＜loga

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，显然不成立．
当0＜a＜1时，logax2＞loga

1

2

，∴

0＜a＜1

loga

1

2

≥

3

4

，解得

3	4

4

≤a＜1
∴a的取值范围是[

3	4

4

，1)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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