已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（-7，+∞）内单调递增；（2）若关于x的方程f（x）=x+m在[1，2]上有解，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（-7，+∞）内单调递增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）在（-7，+∞）内单调递增；
（2）若关于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：任取-7＜x₁＜x₂＜+∞，
则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2

2x1+1

2x2+1

，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），…（7分）
所以，函数f（x）在（-7，+∞）内单调递增．…（8分）
（2）m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+

1

2x

)，…（11分）
当1≤x≤2 时，

1

4

≤

1

2x

≤

1

2

，

5

4

≤1+

1

2x

≤

3

2

…（13分）
∴log2(

5

4

)≤log2(1+

1

2x

)≤log2(

3

2

)，即log2(

5

4

)≤m≤log2(

3

2

) …（15分）
所以，m 的取值范围是(log2

5

4

， log2

3

2

) …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（-7，+∞）内单调递增..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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