已知f(x)=log21-x1+x（-1＜x＜1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)=f(a+b1+ab)；（3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=log21-x1+x（-1＜x＜1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知f(x)=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)；
（3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(-x)=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1-

a+b

1+ab

1+

a+b

1+ab

=lg

1+ab-a-b

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．
（3）设-1＜x＜1，△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

因为1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0所以

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
所以 △y=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0所以函数 f(x)=log2

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函数．
从而对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=log21-x1+x（-1＜x＜1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：