已知f(x)=logax+1x-1（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=logax+1x-1（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知f(x)=loga

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

x+1

x-1

＞0得：x＜-1或x＞1．
所以，函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又∵f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0．
因为

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0
所以

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

，又因为a＞1，所以loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，
故f（x₁）＞f（x₂），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
（3）假设存在实数a满足题目条件．
由题意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]?（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴1＜m＜n
又∵1-log_an＞1-log_am，
∴log_am＞log_an，解得a＞1．
由（2）得：函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
所以，函数f（x）在区间[m，n]上单调递减．
故，

f(m)=1-logam

f(n)=1-logan

，所以

loga

m+1

m-1

=loga

a

m

loga

n+1

n-1

=loga

a

n

，
所以

m2+(1-a)m+a=0

n2+(1-a)n+a=0

，∴m，n是方程x²+（1-a）x+a=0的两个不同的实根．
故，方程x²+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根．
则

△=(1-a)2-4a＞0

-

1-a

2

＞1

f(1)＞0

，解得：a＞3+2

2

．又∵a＞1，
所以，a＞3+2

2

所以，满足题目条件的实数a存在，实数a的取值范围是(3+2

2

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=logax+1x-1（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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