函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2，（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[1b，1a]？若存在，求出所有的a-数学试题及答案

1、试题题目：函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2，（Ⅰ）求x＜0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）任取x＜0，得-x＞0，故有f（-x）=-2x-x²
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0时，f（x）=2x+x²；
（Ⅱ）∵当x＞0时，f（x）=-（x-1）²+1≤1，
若存在这样的正数a，b，则当x∈[a，b]时，[f(x)]max=

1

a

≤1?a≥1，
∴f（x）在[a，b]内单调递减，
∴

1

b

=f(b)=-b2+2b

1

a

=f(a)=-a2+2a

?a，b是方程x³-2x²+1=0的两正根，
∵x³-2x²+1=（x-1）（x²-x-1）=0，
∴x1=1，x2=

1+

5

2

，
∴a=1，b=

1+

5

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2，（Ⅰ）求x＜0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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