已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[1b，1a]，若存在，求出实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[

1

b

，

1

a

]，若存在，求出实数a，b的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，根据奇函数性质：f（x）=-f（-x）
当x＜0时，-x＞0，所以当x＜0时的解析式为：f（x）=-f（-x）=2x+x²
∵f（0）=0
∴f(x)=

2x-x2，x＞0.

2x+x2，x≤0.

（2）由

b＞a

1

a

＞

1

b

?ab＞0．
若a＞0，b＞0．
情形一 a＜1＜b：f（x）=2x-x²的最大值为1．得a=1（舍）．
情形二 a＜b＜1：f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，又

1

a

＞1（不符）
情形三 1≤a＜b：[a，b]上单调减得

f(a)=

1

a

f(b)=

1

b

?

a=1

b=

1+

5

2

（符合）
若a＜0，b＜0，同理可得a=

-1-

5

2

，b=-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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