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1、试题题目：已知点（an，an-1）在曲线f（x）=()x上，且a1=1．（1）求f（x）的定义域；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知点（an，an-1）在曲线f（x）=
(    )
x
上，且a1=1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：
1
4
(n+1)
2
3
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤4(n+1)
2
3
-1（n∈N*）
（3）求证：数列{an}前n项和Sn≤
(3n+2)
3n
2
-
3
2
（n≥1，n∈N*）

  试题来源：武汉模拟   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的定义域、值域



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由f（x）=
x2+
1
x
知x满足：x2+
1
x
≥0，
∴
x3+1
x
≥0，
∴
(x+1)(x2-x+1)
x
≥0
∴
x+1
x
≥0，
故x＞0，或x≤-1．
f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）证明：∵an+12=an2+
1
an
，则an+12-an2=
1
an
，
于是有：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=an+12-a12=an+12-1
要证明：
1
4
(n+1)
2
3
-1≤
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤4(n+1)
2
3
-1
只需证明：
1
2
n
1
3
≤an≤2n
1
3
（*） 
下面使用数学归纳法证明：
1
2
n
1
3
≤an≤2n
1
3
（n≥1，n∈N*） 
  ①在n=1时，a1=1，
1
2
＜a1＜2，则n=1时 （*）式成立．
②假设n=k时，
1
2
k
1
3
≤ak≤2k
1
3
成立，
由 
a2k+1
=
a2k
+
1
ak
≤4k
1
3
+
1
1
2
k
1
3
=4k
2
3
+
2
k
1
3

要证明：4k
1
3
+
1
1
2
k
1
3
≤4(k+1)
2
3
，
只需2k+1≤
1
2
k
1
3
(k+1)
2
3
只需（2k+1）3≤8k（k+1）2
只需1≤4k2+2k，而4k2+2k≥1在k≥1时，恒成立，
于是ak+12=
1
4
(k+1)
2
3
，于是ak+1≤ 2(k+1)
1
3
，
又ak+12=ak2+
1
ak
≥
1
4
k
2
3
+
1
2k
1
3
，
要证
1
4
k
2
3
+
1
2k
1
3
≥
1
4
(k+1)
2
3

只需证：k+2≥k
1
3
(k+1)
2
3
，
只需证：4k2+11k+8＞0，而4k2+11k+8＞0在k≥1时恒成立．
于是：
a2k+1
≥
1
4
(k+1)
2
3
．
因此 
1
2
(k+1)
1
3
≤
a2k+1
≤2(k+1)
1
3
得证．
综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．
（3）证明：要证明：Sn≤
(3n+2)
3n
2
-
3
2
，
由（2）可知只需证：
3n
＜
(3n+2)
3n
4
-
[3(n-1)+2]
3n-1
4
（n≥2）（**）
下面用分析法证明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需证：（3n-2）
3n
＞（3n-1）
3n-1

即只需证：（3n-2）3n＞（3n-1）3（n-1），
只需证：2n＞1．
而2n＞1在n≥1时显然成立，
故（**）式得证．
于是由（**）式可知有：
32
+
33
+…+
3n
≤
(3n+2)
3n
4
-
5
4

因此有：Sn=a1+a2+…+an≤1+2（
32
+
33
+…+
3n
）=
(3n+2)
3n
2
-
3
2
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点（an，an-1）在曲线f（x）=()x上，且a1=1．（1）求f（x）的定义域；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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