已知函数f（x）是函数y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=4-3xx-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）．（1）求F（x）的解析式及定义域．（2）试问在函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）是函数y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）是函数y=

2

10x+1

-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=

4-3x

x-1

的图象关于直线y=x-1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的解析式及定义域．
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，
x=lg

1-y

1+y

．
∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．
由题设知点P′（1+y，x-1）在函数y=

4-3x

x-1

的图象上，
∴x-1=

4-3(1+y)

1+y-1

．
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=lg

1-x

1+x

=lg（-1+

2

1+x

）（-1＜x＜1）是减函数，
g（x）=

1

x+2

（-1＜x＜1）也是减函数，
∴F（x）在（-1，1）上是减函数．
故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）是函数y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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