已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．

试题来源：成都模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax²+bx+c=0的两根，∴可设f（x）=ax（x+2），又由f（x）≥（a-1）x-1恒成立得（a-1）²≤0，∴a=1，∴f（x）=x²+2x
（II）F（x）=tf（x）-x-3=tx²+（2t-1）x-3（t≥0），以下分情况讨论F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）
（1）当t=0时，F（x）=-x-3在x∈[-

3

2

，2]时单调递减，F(x)max=H(t)=-

3

2

；
（2）当t＞0时，F（x）图象的对称轴方程为x0=-1+

1

2t

．∵

-

3

2

+2

2

=

1

4

，∴只需比较x0与

1

4

的大小
①当x0≤

1

4

，即t≥

2

5

时，F（x）_max=8t-5；
②当x0＞

1

4

，即0＜t＜

2

5

时，F(x)max=-

3

4

t-

3

2

，
综上可得H(t)=

-

3

4

t-

3

2

，0≤t＜

2

5

8t-5，t≥

2

5

（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]_max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内
由（II）可知H（t）的最小值为-

9

5

，即-H（t）的最大值为

9

5

，∴

p+

9

5

＞0

1＞p+

9

5

，∴-

9

5

＜p＜-

4

5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：