对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]?D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=sinx；④f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]?D（a＜b），使得{y|y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]?D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=sinx；④f（x）=log₂x+1．
则存在“等值区间”的函数的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

试题来源：潍坊二模试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①对于函数f（x）=2^x，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有2^a=a，2^b=b，
即方程2^x=x有两个解，即y=2^x和y=x的图象有两个交点，这与y=2^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在
“等值区间”．
②对于函数f（x）=x³存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．
③对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道[a，b]?[-1，1]，但在区间]?[-1，1]上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx没有“等值区间”；
④对于 f（x）=log₂x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．
故选B

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]?D（a＜b），使得{y|y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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