已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有f(x1)+f(x1)2＞f(x1+x22)成立，且f（x+2）为偶函数．（1）求a的取值范围；（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；（3）-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m．是否存在常数a，使的函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a³．

试题来源：如皋市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x+2）为偶函数可得f（x）=ax²+bx+1的图象关于直线x=2对称，
则-

b

2a

=2，b=-4a，f（x）=ax²-4ax+1；
对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，则

f(x1)+f(x1)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

(ax12-4ax1+1+ax22-4ax2+1)-[a(

x1+x2

2

)2-4a

x1+x2

2

+1]=

1

2

a(x1-x2)2＞0，
因为x₁≠x₂，
所以（x₁-x₂）²＞0，
故a＞0．
（2）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
因为a＞0，
所以a+2＞2．
当a+1≤2时，即0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a²+1]；
当1＜a≤2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a+1，
函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a+1]；
当a＞2时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=a³-4a+1，
函数y=f（x）的值域为[a³-4a²+1，a³-4a+1]．
（3）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
当0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1时，1≤（a-2）²＜4，则a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合题意；
当1＜a＜2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合题意；
当2≤a＜3时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因为2≤a＜3，
所以a=2．
综上所述：存在常数a=2符合题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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