已知函数f（x）=lnx-14x+34x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=-x2+2bx-4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-14x+34x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=-x²+2bx-4，若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1的定义域是（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
所以当x∈（0，2）时，f(x)min=f(1)=-

1

2

，
对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
问题等价于-

1

2

≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即-

1

2

≥-x2+2bx-4恒成立．
不等式可变为b≤

x2+

7

2

2x

=

x

2

+

7

4x

，
因为x∈[1，2]，所以

x

2

+

7

4x

≥2

x

2

×

7

4x

=

14

2

，当且仅当

x

2

=

7

4x

，即x=

14

2

时取等号．
所以b≤

14

2

，
故实数b的取值范围是（-∞，

14

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-14x+34x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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