已知函数f(x)=lnxx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+xe＞lnx成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnxx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；（Ⅱ）证明：对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

lnx

x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
又x∈（0，+∞），
当x＞e时，f′（x）＜0，函数为减函数；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数．
所以f（x）的极大值为f(e)=

lne

e

=

1

e

；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），
都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立则有(x-1)2ex+

1

e

＞

lnx

x

，
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值为f(e)=

1

e

，
并且(x-1)2ex+

1

e

≥

1

e

成立，当且仅当x=1时成立，
函数(x-1)2ex+

1

e

的最小值大于等于函数f(x)=

lnx

x

的最大值，
但等号不能同时成立．
所以，对一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnxx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；（Ⅱ）证明：对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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