已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1，（n∈N?），（1）求数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N⁺，有a_p+q=a_p+a_q，数列{b_n}满足：an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

，（n∈N^?），
（1）求数列{a_n}的通项公式和数列{b_n}的通项公式；
（2）设Cn=3n+λbn(n∈N?)，是否存在实数λ，当n∈N⁺时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列
∴a_n=2n
∵an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

（n≥1）①
∴an-1=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-2

bn-1

2n-1+1

（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1

bn

2n+1

=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
当n=1时，a1=

b1

3

∴b₁=6满足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）?λ
假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）?λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）?λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]?λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2?3ⁿ（-1）ⁿ（3?2ⁿ⁺¹+4）?λ＞-2?3ⁿ
当n为正偶函数时，（3?2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2?3ⁿ恒成立λ＞（-

3n

3?2n+2

）max=（-

1

3?(

2

3

)n+2?(

1

3

)n

）max
当n=2时（-

1

3?(

2

3

)n+2?(

1

3

)n

）max=-

9

14

∴λ＞-

9

14

当n为正奇数时，-（3?2ⁿ⁺¹+4）?λ＞-2?3ⁿ恒成立
∴λ＜（

3n

3?2n+2

）min=（

1

3?(

2

3

)n+2?(

1

3

)n

）min
当n=1时[

1

3?(

2

3

)n+2?(

1

3

)n

]min=

3

8

∴λ＜

3

8

综上，存在实数λ，且λ∈（-

9

14

，

3

8

）（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：