假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在实数集R上是单调函数，可知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在-数学试题及答案

1、试题题目：假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在实数集R上是单调函数，可知指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）存在反函数y=f^-1（x），x∈（0，+∞）．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：
（1）对于任意的正实数x₁，x₂，都有f^-1（x₁x₂）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函数y=f^-1（x）是单调函数．

试题来源：闸北区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）设y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)，
由题意，有x1=ay1，x2=ay2，
∴x1x2=ay1?ay2=ay1+y2，
∴y1+y2=f-1(x1x2)，即f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）．
（2）当a＞1时，y=f^-1（x）是增函数．
证明：设x₁＞x₂＞0，即ay1＞a y2＞0，
又由指数函数y=a^x（a＞1）是增函数，得y₁＞y₂，即f-1(x1)＞f-1(x2)．
∴当a＞1时，y=f^-1（x）是增函数．
同理，当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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