已知函数f(x)=4x+k?2x+14x+2x+1．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=4x+k?2x+14x+2x+1．（1）若对于任意的x∈R..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

4x+k?2x+1

4x+2x+1

．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为4^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4^x+k?2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因为-2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，当且仅当2^x=2^-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2）f(x)=

4x+k?2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+

1

2x

+1

，
令t=2x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k-1

t

(t≥3)，
当k＞1时，y∈(1，

k+2

3

]无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，y∈[

k+2

3

，1)，最小值为

k+2

3

=-2?k=-8，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

且1＜f(x3)≤

k+2

3

，
故

k+2

3

≤2，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2且

k+2

3

≤f(x3)＜1，故1≤

2k+4

3

，解得-

1

2

≤k＜1；
综上所述，-

1

2

≤k≤4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=4x+k?2x+14x+2x+1．（1）若对于任意的x∈R..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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