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1、试题题目：对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为______．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，则g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=______．

  试题来源：孝感一模   试题题型：填空题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性、最值



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
2
2x-1
，令h（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，m（x）=
2
2x-1
，则g（x）=h（x）+m（x）．
 则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
1
2
，故h（x）的对称中心为（
1
2
，1）．
设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
1
2
，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
=[h（
1
2011
）+h（
2010
2011
）]+[h（
2
2011
）+h（
2009
2011
）]+[h（
3
2011
）+h（
2008
2011
）]+…+[h（
1005
2011
）+h（
1006
2011
）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=
2
2x-1
的对称中心为（
1
2
，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
∴m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=[m（
1
2011
）+m（
2010
2011
）]+[m（
2
2011
）+m（
2009
2011
）]+[m（
3
2011
）+m（
2008
2011
）]+…+[m（
1005
2011
）+m（
1006
2011
）]=1005×0=0．
∴g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=h（
1
2011
）+h（
2
2011
）+h（
3
2011
）+h（
4
2011
）+…+h（
2010
2011
）
+m（
1
2011
）+m（
2
2011
）+m（
3
2011
）+m（
4
2011
）+…+m（
2010
2011
）
=2010+0=2010，
故答案为2010．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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