函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=19．（1）求证：f(x)f(1x)=1(x＞0)；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；（3）若f（m）=3，求正-数学试题及答案

1、试题题目：函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=

1

9

．
（1）求证：f(x)f(

1

x

)=1(x＞0)；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=

1

9

，
∴f（1）=1，…（2分）
令y=

1

x

，得f(x?

1

x

)=f(x)f(

1

x

)=f(1)=1； …（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，0＜f(

x2

x1

)＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

x2

x1

?x1）=f（x₁）-f（

x2

x1

）f（x₁）=f（x₁）[1-f（

x2

x1

）]，…（7分）
而当x＞0时，f(x)=f(

x

?

x

)=[f(

x

)]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(

1

x

)=1，f（x）≠0，
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，1-f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵f(2)=

1

9

，
∴f（

1

2

）=

1

f(2)

=9，
又f(

1

2

)=f(

2

?

2

)=[f(

2

)]2，且f(

2

)＞0，
∴f（

2

）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=

2

…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：