（1）已知函数f(x)=ln(1+x)-axx+1（其中a为常数），求函数f（x）的单调区间；（2）求证：不等式1ln(x+1)-1x＜12在0＜x＜1上恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）已知函数f(x)=ln(1+x)-axx+1（其中a为常数），求函数f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

（1）已知函数f(x)=ln(1+x)-

ax

x+1

（其中a为常数），求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：不等式

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

在0＜x＜1上恒成立．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f(x)=ln(1+x)-a(1-

1

x+1

)知定义域：{x|x＞-1}
对f（x）求导得：f′(x)=

1

1+x

-

a

(x+1)2

=

x+1-a

(x+1)2

①在a≤0时，有x+1-a＞0恒成立．故f（x）＞0
故此时f（x）在（-1，+∞）上单调递增
②在a＞0时，由f'（x）=0知x=a-1

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

故在a＞0时，f（x）在（-1，a-1）上为减函数，在[a-1，+∞）上为增函数．
因此函数在a≤0时，在（-1，+∞）上单调递增；在a＞0时，f（x）在（-1，a-1）上为减函数，在[a-1，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）要证明：

1

ln(1+x)

-

1

x

＜

1

2

在（0，1）上成立．
只需证：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0，在（0，1）上恒成立
设g(x)=

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x
则g′(x)=

1

2

(ln(1+x)+x.

1

1+x

)+

1

x+1

-1=

1

2

(ln(1+x)-

x

1+x

)
由（1）可知a=1，f（x）在x=0时取到最小值
有ln(1+x)＞

x

1+x

，在x＞0时恒成立．
从而可知g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上为增函数∴g（x）＞g（0）=0
即：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0恒成立，从而原不等式得证．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）已知函数f(x)=ln(1+x)-axx+1（其中a为常数），求函数f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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