设函数f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．（1）若己知函数f（x）是增函数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；
（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知，f（x）的定义域为（-

1

2

，+∞），f/(x)=

4x2+2x+2b

2x+1

∵函数f（x）是增函数，∴f/(x)=

4x2+2x+2b

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
∴4x²+2x+2b≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，即b≥-2x²-x在（-

1

2

，+∞）上恒成立
又∵-2x2-x≤

1

8

，当且仅当x=-

1

4

时，等号成立，∴b≥

1

8

（Ⅱ）∵b=1，∴f（x）=x²+ln（2x+1）
设函数g（x）=f（x）-x=x²-x+ln（2x+1），则g（x）的定义域也是（-

1

2

，+∞），并且g/(x)=

4x2+1

2x+1

＞0
∴g（x）在整个定义域（-

1

2

，+∞）上是增函数．
∴对任意的正整数n，有g（n）＞g（0）恒成立
即对任意的正整数n，f（n）-n＞0，也即不等式n＜f（n）恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．（1）若己知函数f（x）是增函数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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