对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=x2+abx-c（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-12．（1）试求函数f（x）的单调区间；（2）已-数学试题及答案

1、试题题目：对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

对于函数f（x），若存在x_o∈R，使f（x_o）=x_o成立，则称x_o为f（x）的不动点．如果函数f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-

1

2

．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足4S_n?f（

1

an

）=1，求证：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（3）设b_n=-

1

an

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设

x2+a

bx-c

=x?（1-b）x²+cx+a=0（b≠1）
?

2+0=-

c

1-b

2×0=

a

1-b

，∴

a=0

b=1+

c

2

，∴f（x）=

x2

(1+

c

2

)x-c

由f（-2）=

-2

1+c

＜-

1

2

?-1＜c＜3，又∵b，c∈N^*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=

x2

2(x-1)

（x≠1）…（3分）
于是f′（x）=

2x?2(x-1)-x2?2

4(x-1)2

=

x2-2x

2(x-1)2

由f′（x）＞0得x＜0或x＞2；由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²?a₁=-1，若a_n=-a_n-1，则a₂=1这与a_n≠1矛盾
∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n …（6分）
于是，待证不等式即为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
为此，我们考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0．
令1=

1

x

=t，x＞0，则t＞1，x=

1

t-1

，
再令g（t）=t-lnt，g′（t）=1-

1

t

，
由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0．
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，
于是t-1＞lnt，即

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0 　　　 ①
令h（t）=lnt-1+

1

t

，h′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

，
由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0，
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0 于是lnt＞1-

1

t

即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0　　　　 ②
由①、②可知

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0 …（10分）
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

…（11分）
（3）由（2）可知b_n=

1

n

则T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…2008，并将各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2009

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2009

2008

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2008

即T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：