已知函数f（x）=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，a]上是减函数，在[a，+∞）上是增函数．（1）如果函数y=x+2bx（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，a]..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；
（2）证明：函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）在（0，

a

]上是减函数；
（3）设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数
且函数y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，
故

2b

=4
解得b=4
证明：（2）∵函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）
∴f（x）=1-

a

x2

，
当x∈（0，

a

]时，x²≤a
即

a

x2

≥1，
此时f（x）=1-

a

x2

≤0恒成立
故函数f（x）=x+

a

x

（常数a＞0）在（0，

a

]上是减函数
（3）当c∈（1，9）时，

c

∈（1，3）
故当x=

c

时，函数取最小值2

c

而f（1）-f（3）=

2(c-3)

3

故当1＜c≤3时，函数的最大值是f（3）=3+

c

3

当3＜c＜9时，函数的最大值是f（1）=1+c

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，a]..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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