已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）f(2)=-12时，解不等式f（ax+4）＞-1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）f(2)=-

1

2

时，解不等式f（ax+4）＞-1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，则x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴0＜ax+4＜4
当a＞0时，解得-

4

a

＜x＜0
当a＜0时，解得0＜x＜-

4

a

当a=0时，无解

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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