已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

1

x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f(x)=x+

1

x

为奇函数
∵函数f(x)=x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
且f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)．
所以函数f(x)=x+

1

x

为奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0 即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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