已知函数f(x)=ax2-24+2b-b2?x，g(x)=-1-(x-a)2(a，b∈R)．（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2-24+2b-b2?x，g(x)=-1-(x-a)2(a，b∈R)．（1）当b=0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

?x，g(x)=-

1-(x-a)2

(a， b∈R)．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（II）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x）．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在（-∞，2]上单调递减，符合题意；（3分）
若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上单调递减，
必须满足

a＞0

4

2a

≥2

（5分）
∴0＜a≤1．综上所述，a的取值范围是[0，1]（6分）
（2）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，则f（x）无最大值，（7分）
故a≠0，∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0

4+2b-b2≥0

即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，（8分）
此时，x0=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．（9分）
又g（x）取最小值时，x₀=a，（10分）
依题意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，则a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，（11分）
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，（12分）
此时b=-1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．（13分）
（3）当整数对是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x²-2x∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，（14分）
又当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：当x∈（2k-2，2k），k∈Z，则，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2-24+2b-b2?x，g(x)=-1-(x-a)2(a，b∈R)．（1）当b=0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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