定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）若x＞0时f（x）为增函数，求满足不等-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x＞0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0；
（2）f（x）是偶函数，证明如下
令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒为0，∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x）
∵f（x）是偶函数，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）
∵x＞0时，f（x）为增函数，
∴|x+1|≤|2-x|
∴x≤

1

2

∴满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合为{x|x≤

1

2

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：