设函数f(x)=-ax2+1+x+a，x∈(0，1]，其中a＞0．（1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=-ax2+1+x+a，x∈(0，1]，其中a＞0．（1）若f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=-a

x2+1

+x+a，x∈(0，1]，其中a＞0．
（1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x∈（0，1]时，f'（x）=-a?

x

x2+1

+1，∵f'（x）在（0，1]上是增函数，∴f'（x）≥0在（0，1]上恒成立．即a≤

x2+1

x

=

1+

1

x2

在(0，1]上恒立，而0＜x≤1时，

1+

1

x2

≥

2

，∴0＜a≤

2

．
（2）由（1）知
①当0＜a≤

2

时，f(x)在(0，1]上是增函数，∴[f（x）]_max=f（1）=（-

2

-1）a+1
②当a＞

2

时，令f′(x)=0，x=

1

a2-1

∈(0，1]，∴0＜x＜

1

a2-1

时f'（x）＞0

1

a2-1

＜x≤1时f'（x）＜0，∴[f（x）]_max=f（

1

a2-1

)=a-

a2-1

综上知，当0＜a≤

2

时，[f(x)]max=-(

2

-1）a+1；当a＞

2

时，[f(x)]max=a-

a2-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=-ax2+1+x+a，x∈(0，1]，其中a＞0．（1）若f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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