设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)]}n个f，已知f(x)=2(1-x)，0≤x≤1x-1，1＜x≤2，（1）解不等式f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；（3）求f2007(89)的值；-数学试题及答案

1、试题题目：设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)]}n个f，已知f(x)=2(1-x)，0≤..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设n为正整数，规定：fn(x)=

f{f[…f(x)]}

n个f

，已知f(x)=

2(1-x)，0≤x≤1

x-1，1＜x≤2

，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）求f2007(

8

9

)的值；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素．

试题来源：惠州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得x≥

2

3

，∴

2

3

≤x≤1．
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2．
由①②得f（x）≤x的解集为{x|

2

3

≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
（3）f1(

8

9

)=2(1-

8

9

)=

2

9

，f2(

8

9

)=f(f1(

8

9

))=f(

2

9

)=

14

9

，
f3(

8

9

)=f(f2(

8

9

))=f(

14

9

)=

14

9

-1=

5

9

，f4(

8

9

)=f(f3(

8

9

))=f(

5

9

)=2(1-

5

9

)=

8

9

，
一般地，f4k+r(

8

9

)=fr(

8

9

)，（k，r∈N^*），
∴f2007(

8

9

)=f3(

8

9

)=

5

9

．
（4）由（1）知，f(

2

3

)=

2

3

，∴fn(

2

3

)=

2

3

，则f12(

2

3

)=

2

3

，

2

3

∈B．
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对x=

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B．
综上所述：

2

3

，0，1，2，

8

9

，

2

9

，

14

9

，

5

9

∈B，
∴B中至少包含8个元素．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)]}n个f，已知f(x)=2(1-x)，0≤..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：