如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF。（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4。..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上， AE=EB=AF=

FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF。

（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）取线段EF的中点H，连接A′H，
因为A′E=A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H

平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF
如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则A′（2，2，2），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）
故

=（-2，2，2

），

=（6，0，0）
设n=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，
所以

取z=

，
则n=（0，-2，

）
又平面BEF的一个法向量m=（0，0，1），
故cos〈n，m〉=

所以二面角的余弦值为

。

（2）设FM=x，则M（4+x，0，0），
因为翻折后，C与A′重合，
所以CM=A′M，
故（6-x）²+8²+0²=（-2-x）²+2²+（2

）²，得x=

，
经检验，此时点N在线段BC上
所以FM=

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4。..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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