设二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），则u=1c2+1+4a2+4的最小值为_____

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），则u=1c2+1+4a2+4的最小..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），则u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），∴

a＞0

△=16-4ac=0

，解得a＞0，c＞0，ac=4．
∴c=

4

a

，代入u得u=

1

(

4

a

)2+1

+

4

a2+4

=

a2

a2+16

+

4

a2+4

．
令a²=t＞0，u=v（t）=

t

t+16

+

4

t+4

，
∴v^′（t）=

t+16-t

(t+16)2

+

-4

(t+4)2

=

12(t2-64)

(t+4)2(t+16)2

，
令v^′（t）=0，（t＞0），解得t=8．
当0＜t＜8时，v^′（t）＜0，函数v（t）单调递减；当t＞8时，v^′（t）＞0，函数v（t）单调递增．
故当t=8时，函数v（t）取得最小值v（8）=

8

8+16

+

4

8+4

=

2

3

．
∴则u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值为

2

3

．
故答案为

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），则u=1c2+1+4a2+4的最小..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：