（附加题）已知函数f（x）=x2-2kx+k+1．（Ⅰ）若函数在区间[1，2]上有最小值-5，求k的值．（Ⅱ）若同时满足下列条件①函数f（x）在区间D上单调；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域-数学试题及答案

1、试题题目：（附加题）已知函数f（x）=x2-2kx+k+1．（Ⅰ）若函数在区间[1，2]上有最小..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

（附加题）已知函数f（x）=x²-2kx+k+1．
（Ⅰ）若函数在区间[1，2]上有最小值-5，求k的值．
（Ⅱ）若同时满足下列条件①函数f（x）在区间D上单调；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]；则称f（x）为区间D上的闭函数，试判断函数f（x）=x²-2kx+k+1是否为区间[k，+∞）上的闭函数？若是求出实数k的取值范围，不是说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k．
①当k＜1时，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②当1≤k≤2时，fmin(x)=f(k)=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）
③当k＞2时，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=

10

3

．
综合①②③可得k=

10

3

．-------（4分）
（Ⅱ）当k∈(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)时，函数f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上是闭函数．--------（6分）
∵函数开口向上且对称轴为x=k，∴f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上单调递增．
设存在区间[a，b]?[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，
则有

a2-2ka+k+1=a

b2-2kb+k+1=b

，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有两不同实数根．---------（8分）
∴

(2k+1)2-4(k+1)＞0

2k+1

2

＞k

k2-k(2k+1)+k+1＞0

，解得-1＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜1，
∴k的取值范围为(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)-----（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（附加题）已知函数f（x）=x2-2kx+k+1．（Ⅰ）若函数在区间[1，2]上有最小..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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