已知函数f（x）=12ax2+2x，g（x）=lnx．（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；（2）是否存在实数a＞0，使得方程g(x)x=f（x）-（2a+1）在区间（1e，e）内有且只有两个-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12ax2+2x，g（x）=lnx．（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

ax2+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f（x）-（2a+1）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a

，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-

2

a

≤1，解得a≤-2，
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）整理为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍），
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，只需

H(

1

e

)＞0

H(x)min＜0

H(e)＞0

，即

a

e2

+

1-2a

e

+1=

(1-2a)e+a+e2

e2

＞0

H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0

ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

，
所以

a＜

e2+e

2e-1

a＞1

a＞

1-e

e2-2e

，解得1＜a＜

e2+e

2e-1

．
所以a的取值范围是（1，

e2+e

2e-1

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12ax2+2x，g（x）=lnx．（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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