函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x有等根（1）求f（x）的解析式；（2）问：是否存在实数m，n使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

函数f（x）=ax²+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）问：是否存在实数m，n使得f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（2）=0得：4a+2b=0．方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0．
由此方程有等根，可得△=（b-1）²=0，可得b=1．------（2分）
解方程组

4a+2b=0

(b-1)2=0

，可得

a=-

1

2

b=1

，-----（4分）
∴f（x）=-

1

2

x2+x．------（5分）
（2）由于f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，------（2分）
∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴函数f（x）在[m，n]上是增函数．------（5分）
∴

f(m)=-

1

2

m2+m=2m

f(n)=-

1

2

n2 +n=2n

，解得m=-2，n=0．
故存在实数m=-2，n=0，满足条件．-----（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0，方程f（x）=x有..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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