若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（-1），f（1）两个函数值中（）A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

若函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（-1），f（1）两个函数值中（　　）

A．只有一个小于1	B．至少有一个小于1
C．都小于1	D．可能都大于1

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，∴cosα+cosβ=-a，cosα×cosβ=b．
∴f（1）=1+a+b=1-cosα-cosβ+cosα cosβ=（1-cosα）（1-cosβ），
f（-1）=1-a+b=1+cosα+cosβ+cosα cosβ=（1+cosα）（1+cosβ）．
∵α，β∈（0，π），下面对α，β分以下三种情况讨论（不妨设α＜β）．
①当0＜α＜β≤

π

2

时，0≤cosβ＜cosα＜1，
∴1＞1-cosα＞0，1≥1-cosβ＞0，1+cosα＞1，1+cosβ≥1，
∴f（1）＜1，f（-1）＞1．
②当

π

2

≤α＜β＜π时，-1＜cosβ＜cosα≤0，
∴0＜1+cosβ＜1，0＜1+cosα≤1，1-cosβ＞1，1-cosα≥1，
∴f（1）＞1，f（-1）＜1．
③当0＜α≤

π

2

＜β＜π时，-1＜cosβ＜0≤cosα＜1，cosαcosβ≤0．
当cosα=0时，f（-1）=1+cosβ＜1．
下面对cosαcosβ＜0用反证法证明f（1）、f（-1）必有一个小于1．
假设f（1）≥1，f（-1）≥1，
则1-cosα-cosβ+cosα cosβ≥1，1+cosα+cosβ+cosα cosβ≥1，
∴cosαcosβ≥cosα+cosβ≥-cosαcosβ，
∴cosαcosβ≥0，
这与cosαcosβ＜0矛盾，故f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
对0＜α＜

π

2

≤β＜π时，同理可得f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
综上①②③可知：f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
故选B．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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