已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

试题来源：专项题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由抛物线过B(0，1) 得c=1，又b=-4ac，顶点A(-，0)， ∴-==2c=2，∴A(2，0)，将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0， ∴，解得：a=，b=-1，所以，抛物线的解析式为y=x²-x+1。
（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)，　　　　　　　　　　　　作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC， ∵A在以BC为直径的圆上， ∴∠BAC=90°， ∴△AOB∽△CDA， ∴OB·CD=OA·AD，即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4，由，解得：x₁=10，x₂=2， ∴符合题意的点C存在，且坐标为(10，16)或(2，0)， ∵P为圆心，∴P为BC的中点，当点C坐标为 (10，16)时，取OD中点P₁，连结PP₁，　则PP₁为梯形OBCD中位线， ∴PP₁=(OB+CD)=， ∵D (10，0)，∴P1 (5，0)，∴P (5，)；当点C坐标为 (2，0)时，取OA中点P₂，连结PP₂，则PP₂为△OAB的中位线， ∴PP₂=OB=， ∵A(2，0)，∴P₂(1，0)，∴P(1，)，故点P的坐标为(5，)或(1，)。
（3）设B、P、C三点的坐标为B(x₁，y₁)，P(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，由（2）可知：。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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