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1、试题题目:给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A=..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-30 07:30:00

试题原文

给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P.
(Ⅰ)判断数列{xn}:-2,2和数列{yn}:-2,-1,1,3是否具有性质P,简述理由.
(Ⅱ)若数列{xn}具有性质P,求证:
①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj=0;
②若x1=-1,x2>0且xn>1,则x2=1.
(Ⅲ)若数列{xn}只有2013项且具有性质P,x1=-1,x3=2,求{xn}的所有项和S2013

  试题来源:石景山区一模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)数列{xn}具有性质P,数列数列{yn}不具有性质P.
对于数列{xn},若A1(-2,2),则A2(2,2);若A1(-2,-2)则A2(2,-2);均满足OA1⊥OA2,所以具有性质P.
对于数列{yn},当A1(-2,3)若存在A2(x,y)满足OA1⊥OA2,即-2x+3y=0,即
y
x
=
2
3
,数列{yn}中不存在这样的数x,y,因此不具有性质P.…(3分)
(Ⅱ)(1)取A1(xi,xi),又数列{xn}具有性质P,所以存在点A2(xi,xj)使得OA1⊥OA2,即xixi+xixj=0,又xi≠0,所以xi+xj=0.…(5分)
(2)由(1)知,数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj=0;又数列{xn}是单调递增数列且x2>0,所以1为数列{xn}中的一项.
假设x2≠1,则存在k(2<k<n,k∈N*)有xk=1,所以0<x2<1.
此时取A1(x2,xn),数列{xn}具有性质P,所以存在点A2(xi,xs)使得OA1⊥OA2,所以x2xi+xnxs=0;只有x1,所以当x1=-1时x2=xnxs>xs≥x2,矛盾;
当xs=-1时x2=
xn
xi
≥1,矛盾.所以x2=1.…(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,x2=1.若数列{xn}只有2013项且具有性质P,可得x4=4,x5=8,
猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列.(用数学归纳法证明).
所以S2013=-1+1+2+4+…+22011=
2-22012
1-2
=22012-2     …(13分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤i≤n),定义集合A=..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)”。


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