数列{an}中a1=12，前n项和Sn满足Sn+1-Sn=(12)n+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；（Ⅱ）记bn=n+12an（n∈N*）求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）试确定Tn与5n4n+2（n∈N*）的-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中a1=12，前n项和Sn满足Sn+1-Sn=(12)n+1（n∈N*）．（I）求数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n} 中a₁=

1

2

，前n项和S_n满足S_n+1-S_n=(

1

2

)n+1（n∈N^*）．
（ I ）求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（Ⅱ）记 bn=

n+1

2an

（n∈N^*）求数列{b_n} 的前n项和T_n；
（Ⅲ）试确定T_n与

5n

4n+2

（n∈N^*）的大小并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）s n+1-sn=(

1

2

)n+1得an+1=(

1

2

)n+1（n∈N^*）（1分）
又a₁=

1

2

，故an=(

1

2

)n（n∈N^*）（2分）
从而sn=

1

2

[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

=1-(

1

2

)n（4分）
（Ⅱ）由（I）bn=

n+1

2an

=

n+1

2×2n

=

n+1

2n+1

Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

++

n+1

2n+1

，（5分）

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

++

n

2n+1

+

n+1

2n+2

（6分）
两式相减，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

++

1

2n+1

-

n+1

2n+2

（7分）
=

1

2

+

1

23

×(1-

1

2n-1

)

1-

1

2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

（8分）
所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

（9分），
（Ⅲ）Tn-

5n

4n+2

=

3

2

-

n+3

2n+1

-

5n

4n+2

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n+1(2n+1)

于是确定T_n与

5n

4n+2

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小（10分）
n=1时2＜2+1，n=2时2²＜2×2+1，n=3时2³＞2×3+1（11分）
令g（x）=2^x-2x-1，g′（x）=2^xln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2ⁿ≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时Tn＜

5n

4n+2

n=3时Tn＞

5n

4n+2

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中a1=12，前n项和Sn满足Sn+1-Sn=(12)n+1（n∈N*）．（I）求数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：