已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面AB1的中心，F为棱A1D1的中点，试计算：（1）EF?FC1；（2）求证EF⊥面AB1C；（3）求ED1与面CD1所成角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面AB1的中心，F为棱A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为侧面AB₁的中心，F为棱A₁D₁的中点，试计算：
（1）

EF

?

FC1

；
（2）求证EF⊥面AB₁C；
（3）求ED₁与面CD₁所成角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

以AB，AD，AA₁的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标互AO为坐标原点，A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F的坐标分别为（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）
（1）

EF

=(-2，2，2)，

FC1

=(4，2，0)

EF

?

FC1

=-4
（2）∵

EF

?

AB1

=0，

EF

?

B1C

=0∴EF⊥AB₁EF⊥B₁C
从而EF⊥面AB₁C
（3）

ED1

=-(-2，4，2)面CD₁的法向量可取

AD

=(0，4，0)，设ED₁与面CD₁所成的角为θ
则sinθ=

|

ED1

-

AD

|

ED1

|?|

AD

|

=

16

2

6

×4

=

6

3

cosθ=

1-sin2θ

=

3

故所求角的余弦值为

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面AB1的中心，F为棱A..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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