如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1B1C=45°，∠DC1D1=30°，且此长方体的顶点都在半径为5的球面上，则DC1与B1C所成角的余弦值是______，棱AA1的长度为_____

1、试题题目：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1B1C=45°，∠DC1D1=30°，且此长..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，且此长方体的顶点都在半径为

5

的球面上，则DC₁与B₁C所成角的余弦值是______，棱AA₁的长度为______．

试题来源：广州二模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设棱AA₁的长度为a
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°
∴BC的长度为a，CD的长度为

3

a
∵长方体的顶点都在半径为

5

的球面上
∴a2+a2+3a2=(2

5

)2
∴a=2
即棱AA₁的长度为2
连接AB₁，AC，则AB₁∥DC₁，
∴∠A₁B₁C（或其补角）为DC₁与B₁C所成角
在△A₁B₁C中，|A1B1|=2a，|B1C|=

2

a，|A1C|=2a
∴cos∠A1B1C=

4a2+2a2-4a2

2×2a×

2

a

=

2

4

故答案为：

2

4

，2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1B1C=45°，∠DC1D1=30°，且此长..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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