如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求异面直线PA与CD所成的角；（2）求证：PC‖平面EBD；（3-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC‖平面EBD；
（3）求二面角A-BE-D的大小的余弦值．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）如图建立空间直角坐标至B-xyz．设BC=a，则
A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），
C（0，a，0）

CD

=（3，3-a，0）

PD

=（3，3，-3）
∵CD⊥PD∴

CD

?

PD

=0
∴a=6
∴

CD

=（3，-3，0）

PA

=（3，0，-3）cos＜

PA

?

CD

＞=

CD

?

PA

|

CD

|?|

PA

|

=

9

3

2

?3

2

=

1

2

，
因此异面直线CD与PA所成的角为60°（4分）
（2）连接AC交BD于G，连接EG．∵

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，又∵

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

∴PC∥EG又∵EG?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD（8分）
（3）设平面EBD的法向量为

n

=（x，y，1），因为

BE

=（2，0，1），

BD

=（3，3，0）
由

n

?

BE

=0

n

?

BD

=0

得

2x+1=0

3x+3y=0

∴x=-

1

2

，y=

1

2

∴

n

=(-

1

2

，

1

2

，1)又因为平面ABE的法向量为

m

=（0，1，0），
∴所以，cos（

n

，

m

）=

6

．即二面角A-BE-D的大小的余弦值为

6

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：