发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-21 07:30:00
| 试题原文 |
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 解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3 （1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2 ∴AF=AD=2而∠A=60°， ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1， ∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由 题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，又BE∩EF=E（2） ∴A1E⊥平面BEF， 即A1E⊥平面BEP  （3）在图2中，A1E不垂直A1B， ∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BE． 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q． 在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°， ∴△EBP是等边三角形．又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1P， ∴Q为BP的中点，且EQ=
在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q=
∴∠EA1Q=60°， ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°  在图3中，过F作FM⊥A1P与M，连接QM，QF， ∵CP=CF=1，∠C=60°， ∴△FCP是正三角形， ∴PF=1．有PQ=
∴PF=PQ①， ∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=
∴A1E=A1Q， ∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②， 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， 从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角． 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，又∴A1P=
∵MQ⊥A1P，∴MQ=
∴MF=
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=
在△FMQ中，cos∠FMQ=
∴二面角B-A1P-F的大小为π-arccos
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。
