在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和B1B的中点．（1）求直线AM和CN所成角的大小；（2）若P为B1C1的中点，求证：B1D⊥平面PMN；（3）求点A到平面PMN的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和B1B的中点．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和B₁B的中点．
（1）求直线AM和CN所成角的大小；
（2）若P为B₁C₁的中点，求证：B₁D⊥平面PMN；
（3）求点A到平面PMN的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）如图，将AM平移到B₁E，NC平移到B₁F，则∠EB₁F为直线AM与CN所成角或其补角
魔方格

设边长为2，则B₁E=B₁F=

5

，EF=

6

∴由余弦定理得cos∠EB₁F=

2

5

，
即直线AM和CN所成角的大小为arccos

2

5

（2）根据中位线定理可知MN∥A₁B，NP∥C₁B
∴MN∥平面A₁C₁B，NP∥平面A₁C₁B，MN∩NP=P
∴平面A₁C₁B∥平面MNP，
而B₁D⊥平面A₁C₁B，
所以B₁D⊥面PMN；
（3）S_△MNP=

3

2

，S_△MNA=

3

2

设点A到平面PMN的距离为h
∴V_A-MNP=V_P-MNA
即

1

3

S_△MNPh=

1

3

S_△MNA×1
∴h=

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和B1B的中点．..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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