如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=12AB=1，M是SB的中点．（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；（2）求AC与SB所成的角；（3）求二面角M-AC--数学试题及答案

1、试题题目：如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是SB的中点．
（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；
（2）求AC与SB所成的角；
（3）求二面角M-AC-B的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知可得：SA⊥CD，CD⊥AD∴CD⊥平面SAD，（2分）
而CD?SCD，∴平面SAD⊥平面SCD（3分）
（2）设AC中点O，SC中点E，AB中点F，
BC中点G，连接OE、OF、EF、EG、FG
EG∥SB，FG∥AC，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角）（5分）
∴OE=

1

2

SA=

1

2

，OF=

1

2

CE=

2

，EF=

(

1

2

)2+(

2

)2

=

3

2

又∵FG=

1

2

AC=

2

，EG=

1

2

SB=

5

2

∴cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG?FG

=

10

5

（7分）
∴AC与SB所成的角为arcos

10

5

（8分）
（3）连接MO，根据三垂线定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC
∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角（10分）
tan∠MOF=

MF

OF

=

2

∴F二面角M-AC-B的大小为artan

2

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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