如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线PB和平面ABCD所成角的正弦值．（3）求二面角P-AB--数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；
（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；
（2）求直线PB和平面ABCD所成角的正弦值．
（3）求二面角P-AB-C的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

取AD，BC的中点M，N，连接PM，MN，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面AC
∴PM⊥平面AC
又∵MN?平面AC
∴PM⊥MN，
又∵MN⊥AD
故以M点为原点建立如图所示的坐标系，由AB=2，PA=PD=3得：
M（0，0，0），A（0，1，0），B（2，1，0），C（2，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，2

2

）
（1）直线PB的方向向量为

PB

=（2，1，2

2

），直线DC的方向向量为

DC

=（2，0，0）
设直线PB与直线DC所成的角为θ，则
cosθ=

|

PB

?

DC

|

PB

|?|

DC

|

=

4

2

13

=

2

13

所以，异面直线DC与PB所成的角的余弦值为

2

13

（2）由PM⊥平面AC，故平面AC的一个法向量为

MP

=（0，0，2

2

），直线PB的方向向量为

PB

=（2，1，2

2

），
设直线PB和平面ABCD所成角为α
则sinα=

|

MP

?

PB

|

MP

|?|

PB

|

=

8

2

?

13

=

2

26

13

所以，直线PB和平面ABCD所成角的正弦值为

2

26

13

（3）设平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，1）则

n

⊥

PB

，

n

⊥

AB

，且

AB

=（2，0，0），

PB

=（2，1，2

2

），
故

n

?

PB

=0

n

?

AB

=0

，即

2x+y-2

2

=0

2x=0

解得：x=0，y=2

2

∴

n

=（0，2

2

，1）
设二面角P-AB-C的平面角为β，
则cosβ=

|

n

?

PM

|

n

|?|

PM

|

=

1

3

故二面角P-AB-C的余弦值为

1

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：