设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．（1）试推断函数f（x）在区间[0，+∞]上的单调性；（2）设x1、x2是f（x）+bx=0的不等实根，求|x1-x2|的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断函数f（x）在区间[0，+∞]上的单调性；
（2）设x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）比较f（m+3）与0的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（1）=0可得a+b+c=0，a+c=-b ①，
由f（m）=-a可得 ax²+bx+c+a=0 有实数根，故判别式△=b²-4a（c+a）≥0 ②．
由①②可得 b²+4ab=b（b+4a）≥0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0，∴b≥0．
∴二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

≤0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由于x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，故x₁+x₂=-

2b

a

，x₁?x₂=

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(-

2b

a

)2-

4ac

a2

=

4(

c

a

+

1

2

)2+3

．
由a＞b=-（a+c）可得 2a＞-c，∴

c

a

＞-2．
又a+c=-b≤0，可得

c

a

≤-1．
综上可得-2＜

c

a

≤-1，-

3

2

＜

c

a

+

1

2

≤-

1

2

，故

1

4

≤(

c

a

+

1

2

)2＜

9

4

，
∴2≤|x₁-x₂|＜2

3

，故|x₁-x₂|的取值范围是[2，2

3

）．
（3）∵f（1）=0，故可设f（x）=a（x-1）（x-

c

a

）．
∵f（m）=-a，∴a（m-1）（m-

c

a

）=-a，（m-1）（m-

c

a

）=-1＜0．
∵

c

a

＜0，∴

c

a

＜m＜1，∴m＞-2，m+3＞1，故f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故有 f（m+3）＞f（1）=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：