解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是关于x的方程-的解，
方程可简化为x²+2（a-1）x+（a²-2a）=0，
解方程，得x=-a或x=-a+2，
∵x₁＜x₂，-a＜-a+2，
∴x₁=-a，x₂=-a+2，
∴A、B两点的坐标分别为A（-a，0），B（-a+2，0）；
（2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为，
∴△ABC的面积等于；
（3）x₁＜1＜x₂，
∴-a＜1＜-a+2，
∴-1＜a＜1，
∵a是整数，
∴a=0，所求抛物线的解析式为y=-，
此时顶点C的坐标为，如图，作CD⊥AB于D，连结CQ，
则AD=1，
∴∠BAC=60°，
由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形，
由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，点 M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN为平行四边形，C、Q、 P三点共线，且，
∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，

∴。