已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求yx+2的取值范围；（3）设点S在过点A且垂直于x轴的直线l上运动，作SM，SN与轨迹C相切-数学试题及答案

1、试题题目：已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-11 07:30:00

试题原文

已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）求

y

x+2

的取值范围；
（3）设点S在过点A且垂直于x轴的直线l上运动，作SM，SN与轨迹C相切（M，N为切点）．
①求证：M，B，N三点共线；
②求

SM

?

SN

的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为（x，y），
则（x+2）²+y²=4[（x-1）²+y²]，即（x-2）²+y²=4，
所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，
（2）

y

x+2

=

y-0

x+2

表示P（x，y）与定点（-2，0）所连直线的斜率
而点P（x，y）在圆（x-2）²+y²=4，上运动，
设

y

x+2

=k即y=k（x+2），即kx-y+2k=0，圆心（2，0）到此直线的距离为：
d=

|2k+2k|

k2+1

，令d=2得

|2k+2k|

k2+1

=2?k=±

3

，
结合图形易求得

y

x+2

的取值范围为[-

3

，

3

]．
（3）①如图，由题意知直线MN可看成是以SC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线，
设S（-2，t），C（2，0），则以SC为直径的圆的方程为：
x²+（y-

t

2

）²=2²+（0-

t

2

）²即x²+y²-ty-4=0，又（x-2）²+y²=4
两者作差，得：4x-ty-4=0，此方程即为直线MN的方程，
令y=0得x=1，即直线MN过点B（1，0），
从而M，B，N三点共线；
②

SM

?

SN

=|

SM

|?|

SN

|cos2∠MSC
=|

SM

| 2?(1-2sin 2∠MSC)
=(SC2-MC2) (1-2×

MC 2

SC 2

)
设SC=m，由于MC=2，且m≥4，
∴

SM

?

SN

=m²+

32

m2

-12，此函数在m≥4时是单调增函数，
当且仅当m=4时，它取得最小值，最小值为：m²+

32

m2

-12=4²+

32

42

-12=6．
故

SM

?

SN

的最小值6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）”。

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