设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-2，0），左准线l1与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求直线l和椭圆的方程；（2）求证：点F1（-2，0）在-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-2，0），左准线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线l：y=

3

（x+3），
由已知c=2及

a2

c

=3，解得a²=6，
∴b²=6-2²=2．
x²+3y²-6=0，①
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2） y=

3

（x+3），②
将②代入①，整理得2x²+6x+3=0．③
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-3，x₁x₂=

3

2

．
∵

F1A

?

F1B

=（x₁+2，y₁）?（x₂+2，y₂）=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+

1

3

[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=

4

3

x₁x₂+3（x₁+x₂）+7=0，
∴F₁A⊥F₁B．则∠AF₁B=90°．
∴点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上．
（3）面积最小的圆的半径长应是点F₁到直线l的距离，设为r．
∴r=

|

3

×(-2)-0+

3

|

(

3

)2+1

=

1

2

为所求．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-2，0），左准线..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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